Question

過(guò)拋物線(xiàn)C：

x

2

=2py(p＞0)的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|=2．
（1）求拋物線(xiàn)C的方程；
（2）若拋物線(xiàn)C上存在一點(diǎn)M，使得MA⊥MB，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

（1）∵|AF|=2，∴由拋物線(xiàn)的定義，可得1+

p

2

=2，∴p=2
∴拋物線(xiàn)C的方程為x²=4y；
（2）拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為F（0，1），設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1，A（x1，

x 21

4

），B（x2，

x 22

4

），M（x0，

x 20

4

）
直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程可得x²-4kx-4=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
∵M(jìn)A⊥MB，∴

MA

•

MB

=0
∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）+(

x 21

4

-

x 20

4

)(

x 22

4

-

x 20

4

)=0
∵M(jìn)不與A，B重合，∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）≠0
∴1+

1

16

（x₁+x₀）（x₂+x₀）=0
∴x₁x₂+（x₁+x₂）x₀+

x

20

-16=0
∴

x

20

+4kx0+12=0
∴△=16k²-48≥0
∴k≤-

3

或k≥

3

．