Question

5．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx-$\sqrt{3}$cosx，-2），函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的零點；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=4，△ABC的面積$S=\sqrt{3}$，當(dāng)x=A時，函數(shù)f（x）取得極大值，求b+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用向量的坐標(biāo)運算求出三角函數(shù)的關(guān)系式，進一步利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換變性成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的零點．
（Ⅱ）利用函數(shù)的關(guān)系式進一步求出A的大小，再利用三角形的面積公式和余弦定理求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$=$（sinx+\sqrt{3}cosx，1）•（2sinx，-1）$
=$2\sqrt{3}sinxcosx+2{sin^2}x-1$
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x$
=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$．（3分）
由f（x）=0，得$2x-\frac{π}{6}=kπ$（k∈Z），
則$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$（k∈Z），
因為$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，
所以f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的零點是$-\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$．（6分）
（Ⅱ）根據(jù)題意f（A）=2，即$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$，
所以$2A-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
因為0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$．
因為$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=\sqrt{3}$，
所以bc=4，
根據(jù)余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得16=b²+c²-bc，
所以（b+c）²=16+3bc=28，
所以$b+c=2\sqrt{7}$．（12分）

點評 本題考查的知識要點：向量的坐標(biāo)運算，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用余弦定理和三角形的面積解三角形問題．