Question

20．設(shè)a＞1，b＞2，且ab=2a+b，則a+b的最小值為（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$+1
• C． 2$\sqrt{2}$+2
• D． 2$\sqrt{2}$+3

Answer 1

分析 由已知式子可得b=$\frac{2a}{a-1}$，代入整理可得a+b=a-1+$\frac{2}{a-1}$+3，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞1，b＞2，且ab=2a+b，
∴ab-b=2a，∴b（a-1）=2a，解得b=$\frac{2a}{a-1}$，
∴a+b=a+$\frac{2a}{a-1}$=$\frac{a（a-1）+2a}{a-1}$=$\frac{{a}^{2}+a}{a-1}$
=$\frac{（a-1）^{2}+3（a-1）+2}{a-1}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$+3
≥3+2$\sqrt{（a-1）\frac{2}{a-1}}$=3+2$\sqrt{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)a-1=$\frac{2}{a-1}$即a=1+$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，消元并整體轉(zhuǎn)化為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．