Question

10．對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．
p：f（x）=m+2^x為定義在[-1，2）上的“局部奇函數(shù)”：
q：曲線g（x）=x²+（5m+1）x+1與x軸交于不同的兩點；
若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 對于p：f（x）=m+2^x為定義在[-1，2）上的“局部奇函數(shù)”，因此存在x₀∈[-1，2），使得f（-x₀）+f（x₀）=0=$m+{2}^{-{x}_{0}}$+m+${2}^{{x}_{0}}$=0，m=$-\frac{1}{2}（{2}^{-{x}_{0}}+{2}^{{x}_{0}}）$，令${2}^{{x}_{0}}$=t∈$[\frac{1}{2}，4）$，h（t）=$\frac{1}{t}+t$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
對于q：曲線g（x）=x²+（5m+1）x+1與x軸交于不同的兩點，可得△＞0，解得m范圍．由于“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，可得p與q必然一真一假．

解答 解：對于p：f（x）=m+2^x為定義在[-1，2）上的“局部奇函數(shù)”，
因此存在x₀∈[-1，2），使得f（-x₀）+f（x₀）=0=$m+{2}^{-{x}_{0}}$+m+${2}^{{x}_{0}}$=0，
m=$-\frac{1}{2}（{2}^{-{x}_{0}}+{2}^{{x}_{0}}）$，
令${2}^{{x}_{0}}$=t∈$[\frac{1}{2}，4）$，h（t）=$\frac{1}{t}+t$，h′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$，可得$t∈[\frac{1}{2}，1）$，h′（x）＜0，此時函數(shù)h（t）單調(diào)遞減；
t∈（1，4），h′（x）＞0，此時函數(shù)h（t）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)t=1時，函數(shù)h（t）取得最小值，h（1）=2；而$h（\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{2}$，h（4）=$\frac{17}{4}$．∴h（t）∈$[2，\frac{17}{4}）$．
∴m∈$（-\frac{17}{8}，-1]$．
q：曲線g（x）=x²+（5m+1）x+1與x軸交于不同的兩點，可得△=（5m+1）²-4＞0，解得$m＞\frac{1}{5}$，或m$＜-\frac{3}{5}$．
∵“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，
∴p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{17}{8}＜m≤-1}\\{-\frac{3}{5}≤m≤\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≤-\frac{17}{8}，或m＞-1}\\{m＞\frac{1}{5}，或m＜-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
解得m∈∅，或$m≤-\frac{17}{8}$，或$m＞\frac{1}{5}$，或$-1＜m＜-\frac{3}{5}$．
∴m的取值范圍是$m≤-\frac{17}{8}$，或$m＞\frac{1}{5}$，或$-1＜m＜-\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、簡易邏輯的判定方法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、新定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．