Question

直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x²-y²=1相交于不同的A，B兩點．
（1）求AB的長度；
（2）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？若存在，求出k的值，若不存在，寫出理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題

分析：（1）直接聯(lián)立直線與雙曲線方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關系求得兩交點A，B的橫坐標的和與積，由弦長公式求得弦長；
（2）把存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點轉化為k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根與系數(shù)關系求解實數(shù)k的值．

解答： 解：聯(lián)立方程組

y=kx+1 3x2-y2=1

，消去y得（3-k²）x²-2kx-2=0，
∵直線與雙曲線有兩個交點，
∴

3-k2≠0 △=4k2+8(3-k2)＞0

，解得k²＜6且k²≠3，
x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=

-2

3-k2

．
（1）|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 2k 3-k2 )2-4• -2 3-k2

=

2 -k4+5k2+6

|k2-3|

 （k²＜6且k²≠3）．
（2）假設存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，
則k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
即（k+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴(k+1)•

-2

3-k2

+k•

2k

3-k2

+1=0，
整理得k²=1，符合條件，
∴k=±1．

點評：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，訓練了利用直線斜率的關系判斷兩直線的垂直關系，是中檔題．