Question

設曲線C：f（x）=lnx-ex（e=2.71829…），f′（x）表示f（x）的導函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}滿足a₁=e，a_n+1=2f′（

1

an

）+3e，求證：數(shù)列{a_n}中的任意三項都不能構成等差數(shù)列；
（Ⅲ）對于曲線C上的不同兩A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），是否存在唯一x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于f′（x₀）？證明的結論．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）先對函數(shù)進行求導，討論滿足f′（x）=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值即可．
（II）根據(jù)遞推關系求出數(shù)列通項an，假設數(shù)列{an}中存在成等差數(shù)列的三項a_r，a_s，a_t，尋求矛盾即可．
（III）假設存在，再進行論證．

解答： 解：（I）f′（x）=

1

x

-e=

1-ex

x

=0，得x=

1

e

，
當x變化時，f′（x）與f（x）變化情況如下表：

x	（0， 1 e ）	1 e	（ 1 e ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴當x=

1

e

時，f（x）取得極大值f（

1

e

）=-2，沒有極小值；      …（4分）
（II）∵a_n+1=2f′（

1

an

）+3e，∴a_n+1=2a_n+e，∴

an+1+e

an+e

=2，
∴a_n=e（2ⁿ-1）…（6分）
假設數(shù)列{a_n}中存在成等差數(shù)列的三項a_r，a_s，a_t（r＜s＜t），
則2a_s=a_r+a_t，2e（2^s-1）=e（2^r-1）+e（2^t-1），2^s+1=2^r+2^t，
∴2^s-r+1=1+2^t-r又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1為偶數(shù)，1+2^t-r為奇數(shù)，假設不成立
因此，數(shù)列{a_n}中不存在成等差數(shù)列的三項   …（8分）
（III）∵f′（x₀）=k_AB，∴

1

x0

-e=

lnx2-lnx1-e(x2-x1)

x2-x1

，
∴

x2-x1

x0

-ln

x2

x1

=0
即x₀ln

x2

x1

-（x₂-x₁）=0，設g（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），
∴g（x₁）=x₁ln

x2

x1

-（x₂-x₁），g′（x₁）=ln

x2

x1

-1＞0，g（x₁）是x₁的增函數(shù)，
∵x₁＜x₂，∴g（x₁）＜g（x₂）=x₂ln

x2

x2

-（x₂-x₂）=0；
g（x₂）=x₂ln

x2

x1

-（x₂-x₁），∴g′（x₂）=ln

x2

x1

-1＞0，g（x₂）是x₂的增函數(shù)，
∵x₁＜x₂，∴g（x₂）＞g（x₁）=x₁ln

x1

x1

-（x₁-x₁）=0，
∴函數(shù)g（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）內(nèi)有零點x₀，…（10分）
又∵

x2

x1

＞1，∴l(xiāng)n

x2

x1

＞0，函數(shù)g（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）是增函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在（x₁，x₂）內(nèi)有唯一零點x₀，命題成立…（12分）

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于難題．