Question

如圖,已知正方體AC₁中,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),求下列直線所成的角：

 (1)A₁C₁與BC；(2)A₁C₁與B₁C；(3)A₁C₁與EF.

Answer 1

思路解析：將異面直線平移成相交直線.

解：(1)∵BC∥B₁C₁,

∴A₁C₁與B₁C₁所成的銳角就是A₁C₁與BC所成的角.

∵∠A₁C₁B₁=45°,

∴A₁C₁與BC所成的角是45°.

(2)∵B₁C∥A₁D,

∴A₁C₁與A₁D所成的銳角就是A₁C₁與B₁C所成的角.

在△A₁C₁D中,

∵A₁C₁=A₁D=C₁D,

∴∠C₁A₁D=60°,即A₁C₁與B₁C所成的角是60°.

(3)∵EF是△ABD的中位線,

∴EF∥BD.

又BD∥B₁D₁,

∴B₁D₁∥EF.

∵A₁C₁⊥B₁D₁,

∴A₁C₁與EF所成的角是90°.

巧妙變式:如下圖，在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CC₁的中點(diǎn)，求異面直線AE和BF所成角的余弦值.

思路解析：取DD₁的中點(diǎn)M,利用余弦定理，通過(guò)解△AEM，求得∠EAM的大小，即為兩條異面直線所成的角.

方法歸納  構(gòu)造異面直線所成角的方法常有：

(1)過(guò)其中一條直線上的已知點(diǎn)(往往是特殊點(diǎn)),作另一條直線的平行線,使異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角(空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題)；

(2)當(dāng)異面直線依附于某幾何體,且直接對(duì)異面直線平移有困難時(shí),可利用該幾何體的特殊點(diǎn),將兩條異面直線分別平移相交于該點(diǎn)；

(3)通過(guò)構(gòu)造輔助平面、輔助幾何體來(lái)平移直線.