Question

8．設函數(shù)f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a屬于R．
（1）討論函數(shù)f（x）極值點的情況；
（2）若函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上不是單調函數(shù)．試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出f′（x）（x＞0），設g（x）=2x²-2ax+1，①當a≤0時，g（x）＞0，可得f′（x）＞0，利用單調性即可判斷出極值情況．②a＞0，（i）△=4a²-8≤0，即0＜a≤$\sqrt{2}$時，利用單調性即可判斷出極值情況．（ii））△=4a²-8＞0，即a＞$\sqrt{2}$時，利用單調性即可得出極值情況；
（2）問題轉化為函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上有極值點，得到關于a的不等式組，基礎即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2ax+1}{x}$（x＞0），
設g（x）=2x²-2ax+1，
①當a≤0時，g（x）＞0，∴f′（x）＞0，
此時函數(shù)f（x）單調遞增，沒有極值點，舍去．
②a＞0，（i）△=4a²-8≤0，
即0＜a≤$\sqrt{2}$時，f′（x）＞0恒成立，
此時函數(shù)f（x）單調遞增，沒有極值點，舍去．
（ii））△=4a²-8＞0，即a＞$\sqrt{2}$時，
由g（x）＜0，解得 $\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，
f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減；
由g（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，或x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，
f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增．
∴x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函數(shù)f（x）的極大值點；
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函數(shù)f（x）的極小值點．
綜上可得：當a≤$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）沒有極值點；
當a＞$\sqrt{2}$時：x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$ 是函數(shù)f（x）的極大值點；
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函數(shù)f（x）的極小值點．
（2）∵f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上不是單調函數(shù)，
∴函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上有極值點，
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜2或$\frac{1}{2}$＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜2，
解得：$\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{9}{4}$，
∴a∈（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

點評 本題考察了函數(shù)的單調性問題，考察導數(shù)的應用，求函數(shù)的極值點問題，是一道中檔題．