Question

1．若直線(xiàn)ax+by+1=0（a、b＞1）過(guò)圓x²+y²+8x+2y+1=0的圓心，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為（　�。�

• A． 8
• B． 12
• C． 16
• D． 20

Answer 1

分析 求出圓的圓心坐標(biāo)，代入直線(xiàn)方程，得到1=4a+b的關(guān)系式，然后通過(guò)”1“的代換利用基本不等式求解即可．

解答 解：圓x²+y²+8x+2y+1=0的圓心（-4，-1）在直線(xiàn)ax+by+1=0上，
所以-4a-b+1=0，即 1=4a+b代入，
得 $\frac{1}{a}+\frac{4}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）（4a+b）=8+$\frac{a}$+$\frac{16a}$≥16（a＞0，b＞0當(dāng)且僅當(dāng)4a=b時(shí)取等號(hào)）
則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為16，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，基本不等式求解函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．