Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知|AB|=$\sqrt{3}$|OF|，且△A0B的面積為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線y=2上是否存在點(diǎn)M，便得從該點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知|AB|=$\sqrt{3}$|OF|，且△A0B的面積為$\sqrt{2}$，建立關(guān)于a，b，c的方程，解出a，b，即求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）對于存在性問題，要先假設(shè)存在，先設(shè)切線y=k（x-m）+2，與橢圓聯(lián)立，利用△=0，得出關(guān)于斜率k的方程，利用兩根之積公式k₁k₂=-1，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知|AB|=$\sqrt{3}$|OF|，且△A0B的面積為$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{3}$c，$\frac{1}{2}ab$=$\sqrt{2}$，
∴a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）假設(shè)直線y=2上存在點(diǎn)Q滿足題意，
設(shè)Q（m，2），當(dāng)m=±2時(shí)，從Q點(diǎn)所引的兩條切線不垂直．
當(dāng)m≠±2時(shí)，設(shè)過點(diǎn)Q向橢圓所引的切線的斜率為k，則l的方程為y=k（x-m）+2，
代入橢圓方程，消去y，整理得：（1+2k²）x²-4k（mk-2）x+2（mk-2）²-4=0，
∵△=16k²（mk-2）²-4（1+2k²）[2（mk-2）²-4]=0，
∴（m²-4）k²-4mk+2=0，*
設(shè)兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁，k₂是方程（m²-4）k²-4mk+2=0的兩個(gè)根，
∴k₁k₂=$\frac{2}{{m}^{2}-4}$=-1，
解得m=±$\sqrt{2}$，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，2），或（-$\sqrt{2}$，2）．
∴直線y=2上兩點(diǎn)（$\sqrt{2}$，2），（-$\sqrt{2}$，2）滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，分類討論要全面．