Question

20．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為AB與BB₁的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面A₁D₁B；
（Ⅱ）求二面角F-DE-C大�。�

Answer 1

分析 （I）要證EF⊥平面A₁D₁B，只需證A₁D₁⊥EF，A₁B⊥EF
（II）要求二面角F-DE-C大小的正切值，關鍵是找出二面角的平面角．延長DE、CB交于N，過B作BM⊥EN交于M，連FM，則∠FMB為二面角F-DE-C的平面角，故可求．

解答 證明：（I）∵A₁D₁⊥平面A₁B₁BA，EF?平面A₁B₁BA，
∴A₁D₁⊥EF
∵A₁B⊥AB₁，EF∥AB₁，
∴A₁B⊥EF
∴EF⊥平面A₁D₁B；
解：（II）延長DE、CB交于N，∵E為AB中點，∴△DAE≌△NBE
過B作BM⊥EN交于M，連FM，
∵FB⊥平面ABCD
∴FM⊥DN，∴∠FMB為二面角F-DE-C的平面
設AB=a，則BM=$\frac{BE•BN}{EN}$=$\frac{a}{\sqrt{5}}$    又BF=$\frac{a}{2}$，
∴tan∠FMB=$\frac{FB}{BM}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即二面角F-DE-C大小為：arctan$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題以正方體為載體，考查線面垂直，考查面面角，關鍵是作出二面角的平面角．