Question

已知函數(shù)f(x)=

a

x+1

+lnx（a為實(shí)常數(shù)）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，且滿足x₁＜1＜x₂＜2．
（1）求a的取值范圍；
（2）比較f(

3

2

x+

4

2x2+x

+

1

2

)與f(3-x2-2x-2+2)的大�。�

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，且滿足x₁＜1＜x₂＜2．判斷f′（1）＜0，f′（2）＞0，即可得到a的范圍．
（2）先判斷

3

2

x+

1

2

+

4

2x2+x

與3-x2-2x-2+2的大小，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再根據(jù)

3

2

x+

1

2

+

4

2x2+x

與3-x2-2x-2+2的大小，比較f(

3

2

x+

4

2x2+x

+

1

2

)與f(3-x2-2x-2+2)的大小即可．

解答：解：（1）f′(x)=

-a

(x+1)2

+

1

x

=

x2-(a-2)x+1

x(x+1)2

令g（x）=x²-（a-2）x+1∵x＞0∴g（x）的兩零點(diǎn)為x₁，x₂，且f'（x）與g（x）同號(hào)．
x₁＜1＜x₂＜2．∴

g(1)＜0 g(2)＞0

⇒

1+2-a+1＜0 4+2(2-a)+1＞0

得4＜a＜

9

2

（2）∵

3

2

x+

4

2x2+x

+

1

2

=

x

2

+(x+

1

2

)+

1

x 2 (x+ 1 2 )

＞33-x2-2x-2+2
=3-(x+1)2-1+2
∵0＜3-(x+1)2-1≤

1

3

∴2＜3-(x+1)2-1+2≤

1

3

+2
∴

3

2

x+

1

2

+

4

2x2+x

＞3-x2-2x-2+2＞2
∵x＞2時(shí)，f'（x）＞0⇒f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增
∴f(

3

2

x+

4

2x2+x

+

1

2

)＞f(3-x2-2x-2+2)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題，屬于導(dǎo)數(shù)的用用．