Question

13．下列各函數中，值域為（0，+∞）的是（　�。�

• A． y=${3^{\frac{1}{x+1}}}$
• B． y=${2^{-\frac{x}{2}}}$
• C． y=x²+x+1
• D． y=$\sqrt{1-{2}^{x}}$

Answer 1

分析 可看出$\frac{1}{x+1}≠0$，從而${3}^{\frac{1}{x+1}}≠1$，從而判斷A錯誤；顯然${2}^{-\frac{x}{2}}＞0$，從而判斷選析B的函數值域為（0，+∞），這便得出B正確；C中的函數為二次函數，配方便可求其值域；根據指數函數的值域容易得出0≤1-2^x＜1，從而可求出D中函數的值域．

解答 解：A.$\frac{1}{x+1}≠0$，∴${3}^{\frac{1}{x+1}}≠1$，即該函數的值域不是（0，+∞）；
B.$-\frac{x}{2}∈R$，∴${2}^{-\frac{x}{2}}＞0$，∴該函數值域為（0，+∞），即該選項正確；
C.$y={x}^{2}+x+1=（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$，∴該函數的值域不為（0，+∞）；
D.2^x＞0，1-2^x＜1；
∴0≤1-2^x＜1；
∴$0≤\sqrt{1-{2}^{x}}＜1$，∴該函數的值域不為（0，+∞）．
故選B．

點評 考查函數值域的概念，反比例函數的值域，一次函數的值域，以及指數函數的值域，配方法求二次函數的值域，根據不等式的性質求函數的值域．