Question

（1）已知|a|＜1,|b|＜1,求證:||＞1;

（2）求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使不等式||＞1對(duì)滿足|a＜1|,|b|＜1的一切實(shí)數(shù)a、b恒成立.

Answer 1

（1）證明：∵|a|＜1,|b|＜1,∴a²＜1,b²＜1.

即(a²-1)(b²-1)＞0

a²b²+1＞a²+b²(ab-1)²＞(a-b)²

(1-ab)＞|a-b|∴＞1，即||＞1.

（2）解法一：||＞1

|1-abλ|＞|aλ-b|

1-2λab+a²b²λ²＞a²λ²+b²-2λab

a²b²λ²+1-a²λ²-b²＞0

(a²λ²-1)(b²-1)＞0.

∵|b|＜1,∴a²λ²-1＜0.

即λ²＜又＞1.

∴λ²≤1,即-1≤λ≤1.

故當(dāng)-1≤λ≤1時(shí)，滿足題意.

解法二：由（1）的過程知|a|＜1,|b|＜1是||＞1的充要條件.

故|λa|≤1,即-1≤λ≤1.