Question

10．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=$\frac{新工件的體積}{原工件的體積}$）（　　）

• A． $\frac{8}{9π}$
• B． $\frac{8}{27π}$
• C． $\frac{24（\sqrt{2}-1）^{3}}{π}$
• D． $\frac{8（\sqrt{2}-1）^{3}}{π}$

Answer 1

分析 由題意，原材料對應(yīng)的幾何體是圓錐，其內(nèi)接正方體是加工的新工件，求出它們的體積，正方體的體積與圓錐的體積比為所求．

解答 解：由題意，由工件的三視圖得到原材料是圓錐，底面是直徑為2的圓，母線長為3，所以圓錐的高為2$\sqrt{2}$，圓錐是體積為$\frac{1}{3}π×2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}π}{3}$；
其內(nèi)接正方體的棱長為x，則$\frac{\sqrt{2}x}{2}=\frac{2\sqrt{2}-x}{2\sqrt{2}}$，解得x=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以正方體的體積為$（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{3}=\frac{16\sqrt{2}}{27}$，
所以原工件材料的利用率為：$\frac{新工件的體積}{原工件的體積}$=$\frac{8}{9π}$；
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了由幾何體的三視圖得到幾何體的體積以及幾何體的內(nèi)接正方體棱長的求法；正確還原幾何體以及計算內(nèi)接正方體的體積是關(guān)鍵，屬于中檔題．