Question

11．已知函數f（x）=|x-a|+|x+1|
（1）若a=2，求函數f（x）的最小值；
（2）如果關于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，f（x）=|x-2|+|x+1|≥|（x-2）-（x+1）|=3，當（x-2）（x+1）≤0時，取等號，由此f（x）的最小值是3．
（2）關于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，只需|a+1|＜2，由此能求出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=|x-2|+|x+1|≥|（x-2）-（x+1）|=3，
當（x-2）（x+1）≤0，即-1≤x≤2時，取等號，
∴f（x）的最小值是3．
（2）∵f（x）=|x-a|+|x+1|≥|（x-a）-（x+1）|=|a+1|，
當（x-a）（x+1）≤0時取等號，
∴若關于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，
只需|a+1|＜2，解得-3＜a＜1，
∴實數a的取值范圍是（-3，1）．

點評 本題考查函數的最小值的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意含絕對值不等式的性質的合理運用．