Question

（本小題滿分12分）已知橢圓與雙曲線的焦點相同，且它們的離心率之和等于.

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）過橢圓內(nèi)一點作一條弦，使該弦被點平分，求弦所在直線方程.

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

試題分析：對于第一問，根據(jù)所給的雙曲線的方程，可以得出焦點坐標，對應(yīng)的離心率，所以可以求得所求的橢圓的離心率，從而得出對應(yīng)的橢圓的a，進而求得橢圓的方程，對于第二問，涉及到橢圓的中點弦所在直線的方程問題，注意可以先將直線的斜率設(shè)出來，聯(lián)立方程組，根據(jù)中點的坐標可以求得兩根和，從而求k的值，也可以應(yīng)用點差法求得斜率，應(yīng)用點斜式方程直接得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，雙曲線的焦點坐標為，離心率為， 2分

設(shè)橢圓方程：，則

，， 4分

， 5分

橢圓方程為：. 6分

（Ⅱ）解法一：設(shè)，

為弦的中點，， 7分

由題意：，得

，

， 10分

此時直線方程為：，即，

故所求弦所在的直線方程為. 12分

解法二：由題意可知，直線斜率必存在.設(shè)所求直線方程為：，

由，得，（*） 8分

設(shè)， 為弦的中點，，

，， 10分

故所求弦所在的直線方程為：，即. 12分

考點：橢圓的方程，橢圓的中點弦所在直線的方程.

考點分析： 考點1：橢圓的標準方程 考點2：橢圓的幾何性質(zhì) 考點3：雙曲線的標準方程 考點4：雙曲線的幾何性質(zhì) 試題屬性

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