Question

7．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．
（1）證明：BC₁∥平面ACD₁．
（2）當(dāng)$AE=\frac{1}{4}AB$時(shí)，求三棱錐E-ACD₁的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABC₁D₁是平行四邊形得出AD₁∥BC₁，于是BC₁∥平面ACD₁．
（2）以△ACE為棱錐的底面，則棱錐的高為DD₁，代入棱錐的體積公式計(jì)算．

解答 （1）證明：∵AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，
∴四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，
∴BC₁∥AD₁，
又∵AD₁?平面ACD₁，BC₁?平面ACD₁，
∴BC₁∥平面ACD₁．
（2）解：S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•AD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{4}$．
∴V${\;}_{E-AC{D}_{1}}$=V${\;}_{{D}_{1}-ACE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ACE}•D{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×1$=$\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，長方體的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．