Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM=60°，
(Ⅰ)證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；
(Ⅱ)求二面角S-AM-B的大小．

Answer 1

(Ⅰ)證明：作ME∥CD交SD于點(diǎn)E，則ME∥AB，ME⊥平面SAD， 連結(jié)AE，則四邊形ABME為直角梯形， 作MF⊥AB，垂足為F，則AFME為矩形， 設(shè)ME=x，則SE=x，， MF=AE=，F(xiàn)B=2-x， 由MF=FB·tan 60°，得， 解得x=1，即ME=1， 從而，所以M為側(cè)棱SC的中點(diǎn)。 (Ⅱ)解：MB==2， 又∠ABM=60°，AB=2，所以△ABM為等邊三角形． 又由(Ⅰ)知M為SC中點(diǎn)，， 故， 取AM中點(diǎn)G，連結(jié)BG，取SA中點(diǎn)H，連結(jié)GH， 則BG⊥AM，GH⊥AM， 由此知∠BGH為二面角S-AM-B的平面角， 連結(jié)BH，在△BGH中， ，BH=， 所以，， 所以，二面角S-AM-B的大小為arccos。