Question

定義Mf（x）=f（x+1）-f（x）為函數f（x）的邊際函數，某企業(yè)每月最多生產100臺報警器，已知每生產x臺的收入函數為R（x）=3000x-20x²（單位：元），其成本函數為C（x）=500x+4000（單位：元），利潤是收入與成本的差．
（1）求利潤函數P（x）及其邊際函數MP（x）；
（2）利潤函數P（x）及其邊際函數MP（x）是否有相等的最大值？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由“利潤等于收入與成本之差．”可求得利潤函數p（x），由“邊際函數為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得邊際函數．
（2）由二次函數法研究p（x）的最大值，由一次函數法研究Mp（x），對照結果即可．
解答：解：（1）根據題意：
p（x）=R（x）-C（x）=-20x²+2500x-4000
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-20（x+1+x）（x+1-x）+2500（x+1-x）
=-40x+2480
（2）∵p（x）=-20x²+2500x-4000
=-20（x-62.5）²+74125
∴當x=62，63時
函數最大值為：74120
∵Mp（x）=-40x+2480
∴當x=0時
函數最大值為：2480
P （x）與Mp（x）不具有相等的最大值，所以不一樣．
點評：本題主考查函數模型的建立和應用，涉及了函數的最值，同時，確定函數關系實質就是將文字語言轉化為數學符號語言--數學化，再用數學方法定量計算得出所要求的結果，關鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．