Question

已知互相垂直的兩條直線y=kx和y=-

x

k

分別與雙曲線2x²-y²=1交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在線段AB上，且滿足

OA

•

OP

=

OB

•

OP

，則所有的點(diǎn)P在（　�。�

• A、雙曲線2x²-y²=1上
• B、圓x²+y²=1上
• C、橢圓上
• D、|x|+|y|=1上

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由條件求得

OA

2和

OB

2的值，由 

OA

•

OP

=

OB

•

OP

，求得OP⊥AB．再根據(jù)△OAB的面積為

1

2

|

OA

|•|

OB

|=

1

2

|

AB

|•|

OP

|，求得 OP²=1，可得點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心、半徑等于1的圓上，從而得出結(jié)論．

解答： 解：由

y=kx 2x2-y2=1

求得x²=

1

2-k2

，∴

OA

2=x²+k²x²=

1+k2

2-k2

；
由

y=- x k 2x2-y2=1

 求得x²=

k2

2k2-1

，

OB

2=x²+

x2

k2

．
∵

OA

•

OP

=

OB

•

OP

，∴

OP

•

AB

=0，∴OP⊥AB．
再根據(jù)△OAB的面積為

1

2

|

OA

|•|

OB

|=

1

2

|

AB

|•|

OP

|，∴OP²=

OA2•OB2

AB2

=

OA2•OB2

OA2+OB2

=1，
故點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心、半徑等于1的圓上，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量垂直的條件，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，利用面積法求線段的長(zhǎng)度，屬于基礎(chǔ)題．