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求證：當x＞0時，ln(1+x)＞x-
x22
．
分析：先利用思想設f(x)=ln(1+x)-(x-
x2
2
)求其導數(shù)，因為x＞0，所以f'（x）＞o，得出f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而有f（x）＞f（0）=0即可證明得結論．
解答：證明：設f(x)=ln(1+x)-(x-
x2
2
)，…（2分）
則f′(x)=
1
1+x
-(1-x)=
x2
1+x
…（6分）
因為x＞0，所以f'（x）＞o，即   f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
所以f（x）＞f（0）=0          …（8分）
即ln(1+x)-(x-
x2
2
)＞0
所以ln(1+x)＞(x-
x2
2
)＞0…（10分）
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、導數(shù)的應用、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=x2-a．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=xf（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）當a＞0時，記曲線y=f（x）在點P（x1，f（x1））（x1＞
a
）處的切線為l，l與x軸交于點A（x2，0），求證：x1＞x2＞
a
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：X-y+1=0，⊙O：x2+y2=2上的任意一點P到直線l的距離為d．當d取得最大時對應P的坐標（m，n），設g（x）=mx+
n
x
-2lnx．
（1）求證：當x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）討論關于x的方程：mx+
n
x
-g(x)=2x3-4ex2+tx根的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年黑龍江省哈爾濱六中高三（上）期中數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設函數(shù)f（x）=x2-a．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=xf（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）當a＞0時，記曲線y=f（x）在點P（x1，f（x1））（）處的切線為l，l與x軸交于點A（x2，0），求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年黑龍江省哈爾濱六中高三（上）期中數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設函數(shù)f（x）=x2-a．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=xf（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）當a＞0時，記曲線y=f（x）在點P（x1，f（x1））（）處的切線為l，l與x軸交于點A（x2，0），求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年北京市東城區(qū)東直門中學高三數(shù)學提高測試試卷4（文科）（解析版） 題型：解答題

設函數(shù)f（x）=x2-a．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=xf（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）當a＞0時，記曲線y=f（x）在點P（x1，f（x1））（）處的切線為l，l與x軸交于點A（x2，0），求證：．

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