Question

16．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分別為PD、AC上的動點，且$\frac{DE}{DP}$=$\frac{CF}{CA}$=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）當λ=$\frac{1}{2}$時，求證：AD⊥EF；
（Ⅱ）求三棱錐E-FAD的體積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當λ=$\frac{1}{2}$時，E、F分別為PD、AC的中點，取AD中點H，連接EH、FH，則：EH∥PA，證明AD⊥面EFH．由此能證明AD⊥EF；
（Ⅱ）在平面PAD內(nèi)作EH⊥AD于H，則EH⊥平面ADC，EH∥PAEH=λPA=λ．S_△FAD=$\frac{1-λ}{2}$，由此能求出三棱錐E-FAD體積最大值．

解答 （Ⅰ）證明：當λ=$\frac{1}{2}$時，E、F分別為PD、AC的中點，
取AD中點H，連接EH、FH，則：EH∥PA
而PA⊥底面ABCD，
∴EH⊥平面ADC，且AD?面ABCD
∴EH⊥AD…?…（2分）
又FH∥CD且ABCD為正方形
∴FH⊥AD …?…（4分）
∵EH∩FH=H，
∴AD⊥面EFH
而EF?面EFH
∴AD⊥EF；                …（6分）
（Ⅱ）解：在平面PAD內(nèi)作EH⊥AD于H，
因為側(cè)棱PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，
所以EH⊥平面ADC，所以EH∥PA．
因為$\frac{DE}{DP}$=λ（0＜λ＜1），所以$\frac{EH}{PA}$=λ，EH=λPA=λ．
∵$\frac{{S}_{△FAD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{AF}{AC}$=1-λ，∴S_△FAD=$\frac{1-λ}{2}$           …（10分）
∴V_E-FAD=$\frac{1}{3}λ•\frac{1-λ}{2}$=$\frac{λ-{λ}^{2}}{6}$（0＜λ＜1）
∴三棱錐E-FAD的體積的最大值為$\frac{1}{24}$．…（13分）

點評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的最大值的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，注意空間思維能力的培養(yǎng)．