Question

已知橢圓C₁、拋物線(xiàn)C₂的焦點(diǎn)均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

（Ⅰ）求C₁、C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）請(qǐng)問(wèn)是否存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件：①過(guò)C₂的焦點(diǎn)F；②與C₁交不同兩點(diǎn)M、N且滿(mǎn)足？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)拋物線(xiàn)C₂：y²=2px（p≠0），則有，
據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知（3，﹣2）、（4，﹣4）在拋物線(xiàn)上，
易求C₂：y²=4x
設(shè)C₁：，
把點(diǎn)（﹣2，0）（）代入
得：解得
∴C₁方程為
（Ⅱ）容易驗(yàn)證直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足題意；
當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，假設(shè)存在直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)其方程為y=k（x﹣1），
與C₁的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由消掉y，
得（1+4k²）x²﹣8k²x+4（k²﹣1）=0，
于是，①
y₁y₂=k（x₁﹣1）×k（x₁﹣1）=k²[x₁x₂﹣（x₁+x₂）+1]
即②
由，即，
得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
將①、②代入（*）式，
得，
解得k=±2；
所以存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件，
且l的方程為：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．