Question

已知函數(shù)f(x)=，x∈［1，+∞)

(1)當(dāng)a=時，求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若對任意x∈［1，+∞］，f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)當(dāng)a=時，f(x)=x++2，x∈［1，+∞) 設(shè)x2>x1≥1，則 f(x2)－f(x1)=x2+=(x2－x1)+ =(x2－x1)(1－) ∵x2>x1≥1，∴x2－x1>0，1－>0 則f(x2)>f(x1) 可知f(x)在［1，+∞)上是增函數(shù). ∴f(x)在區(qū)間［1，+∞］上的最小值為f(1)=. (2)在區(qū)間［1，+∞］上， f(x)=>0恒成立x2+2x+a>0恒成立 設(shè)y=x2+2x+a，x∈［1，+∞) 由y=(x+1)2+a－1可知其在［1，+∞)上是增函數(shù)， 當(dāng)x=1時，ymin=3+a 于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時函數(shù)f(x)>0恒成立. 故a>－3.