Question

【題目】若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).有下面三個(gè)命題：（1）若是二次函數(shù)，且沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，則函數(shù)也沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)；（2）若是二次函數(shù)，則函數(shù)可能有個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；（3）若的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是，則的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)不可能是；它們中所有真命題的序號(hào)是________________________.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）題意說(shuō)明方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與直線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，由此可得恒成立，或恒成立，由此可得結(jié)論．

（2）由是二次函數(shù)，則是四次函數(shù)，結(jié)合四次函數(shù)圖象可判斷．

（3）若有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為，則，（），用反證法證明不可能有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．

（1）設(shè)，由題意無(wú)實(shí)根，即函數(shù)的圖象與直線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，

時(shí)，的圖象在軸上方，

則對(duì)任意，恒成立，恒成立，

∴恒成立，

當(dāng)時(shí)，的圖象在軸下方，

則對(duì)任意，恒成立，恒成立，

∴恒成立．

綜上不論還是，方程無(wú)實(shí)根，即無(wú)不動(dòng)點(diǎn)，（1）正確；

（2）是二次函數(shù)，則是一元四次函數(shù)，是一元四次方程，可能是4個(gè)不同的實(shí)解，即有4個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．

如，有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和3，

而，

有4個(gè)不等實(shí)根．（2）正確；

（3）若有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為，則，（），

，

顯然是方程的解，

若有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且不是它的根．即，，即（*）

，，

，或，與（*）式矛盾，

∴不可能有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．（3）正確．

故答案為：（1）（2）（3）．