Question

已知橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且短軸長(zhǎng)為4，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：

直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．

專題：

圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．

分析：

（Ⅰ）設(shè)出橢圓長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)，根據(jù)已知條件列方程組，解出即可，注意焦點(diǎn)位置不確定；

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消y得關(guān)于x的一元二次方程，用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可得關(guān)于m的方程，解出即可；

解答：

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a（a＞0），短半軸長(zhǎng)為b（b＞0），

則2b=4①，②．                                             

聯(lián)立①②，解得a=4，b=2．                                                     

因?yàn)闄E圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，

所以橢圓C的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為．       

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由方程組，消去y，

得5x²+2mx+m²﹣16=0，

由題意，得△=（2m）²﹣20（m²﹣16）＞0，

且，

因?yàn)?sub>=，

所以，解得m=±2，

驗(yàn)證知△＞0成立，

所以直線l的方程為x﹣y+2=0或x﹣y﹣2=0．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查解析幾何中常見公式如：弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力．