Question

已知n是正整數(shù)，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{na_n}的前n項和為T_n．對任何正整數(shù)n，等式S_n=-a_n+（n-3）都成立．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）求T_n；
（III）設(shè)A_n=2T_n，B_n=（2n+4）S_n+3，比較A_n與B_n的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）先把n=1代入S_n=-a_n+（n-3）求出a₁=-；再利用n≥2，a_n=S_n-S_n-1得到關(guān)于a_n=和a_n-1之間的遞推關(guān)系式，得到數(shù)列為等比數(shù)列，從而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）先將（I）求出a_n的通項代入na_n中表示出T_n，求和時利用錯位相減法，化簡得到T_n；
（III）先求出S_n，再利用作差的方法求解．
解答：解：（I） 當(dāng)n=1時，由的，
解得
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-[]
解得 ，即
因此，數(shù)列
∴，
即
∴數(shù)列．
（II）∵，
∴
令．
則．
上面兩式相減：=，即．
∴=…8分            
 （III）∵S_n=-a_n+=，
∴
=…10分
∵當(dāng)n=2或n=3時，的值最大，最大值為0，
∴A_n-B_n≤0．
因此，當(dāng)n是正整數(shù)時，A_n≤B_n．…12分
點評：此題①考查這種關(guān)系，②考查等比數(shù)列的一般求法，③數(shù)列求和中的錯位相減法．