Question

8．如圖．已知△ABC，AM是中線，點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊AC上，PQ交AM于點(diǎn)N．
（1）求證：$\frac{PB}{PA}$+$\frac{QC}{QA}$=$\frac{2MN}{NA}$
（2）若$\frac{AP}{PB}$=m，$\frac{AQ}{QC}$=n，求$\frac{MN}{NA}$的值．

Answer 1

分析 （1）分別過點(diǎn)B，C做PQ的平行線，交AM的延長(zhǎng)線于D，E，則△BDM≌△CEM，利用PQ∥BD得比例，即可證明結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論，即可求$\frac{MN}{NA}$的值．

解答 （1）證明：分別過點(diǎn)B，C做PQ的平行線，交AM的延長(zhǎng)線于D，E，則△BDM≌△CEM，
∴DM=EM，
∵PQ∥BD，
∴$\frac{PB}{PA}=\frac{ND}{AN}$①
同理$\frac{QC}{QA}$=$\frac{NE}{AN}$②
①+②得$\frac{PB}{PA}$+$\frac{QC}{QA}$=$\frac{2MN}{NA}$，
（2）解：∵$\frac{AP}{PB}$=m，$\frac{AQ}{QC}$=n，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{2MN}{NA}$，
∴$\frac{MN}{NA}$=$\frac{m+n}{2mn}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查比例線段，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．