Question

5．設(shè)F是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）的左焦點，直線l方程為x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，直線l與x軸交于P點，M、N分別為橢圓的左右頂點，已知|MN|=2$\sqrt{2}$，且|PM|=$\sqrt{2}$|MF|．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點P且斜率為$\frac{\sqrt{6}}{6}$的直線交橢圓于A、B兩點，求三角形ABF面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求得a，再由|PM|=$\sqrt{2}$|MF|求得e，則c可求，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）寫出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用弦長公式求得|AB|，再由點到直線的距離公式求出F到直線AB的距離，代入三角形的面積公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵|MN|=2$\sqrt{2}$，∴a=$\sqrt{2}$，
又∵|PM|=$\sqrt{2}$|MF|，
∴$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，則b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由題知：F（-1，0），P（-2，0），${l}_{AB}：y=\frac{\sqrt{6}}{6}（x+2）$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{\sqrt{6}}{6}（x+2）}\end{array}\right.$，消y得：2x²+2x-1=0，
∴$|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{6}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$．
點F到直線AB的距離：$d=\frac{1}{\sqrt{7}}$，
∴${S}_{△ABF}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}×\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，即三角形ABF面積為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了弦長公式的應(yīng)用，是中檔題．