Question

（14分）設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對(duì)任意及，恒有成立，求的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的極小值為，無(wú)極大值 .

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

（Ⅲ） .

【解析】

試題分析：（1）將a=0代入函數(shù)解析式中可知，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系求解單調(diào)區(qū)間，并得到極值。

（2）當(dāng)a>0時(shí)，利用導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于參數(shù)a，進(jìn)而分類(lèi)討論研究其單調(diào)性，看開(kāi)口和判別式得到。

(3)要證明不等式恒成立，只要利用第二問(wèn)的結(jié)論根據(jù)最大值和最小值得到求解。

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313260423025997/SYS201301131327175115735271_DA.files/image007.png">.

當(dāng)時(shí)， ，.

令，解得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， .

又，

所以的極小值為，無(wú)極大值 . …………………………（4分）

（Ⅱ）

當(dāng)時(shí)，，

令，得或，

令，得；

當(dāng)時(shí)，得，

令，得或，

令，得；

當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

                                     …………………………………（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值.

所以

.………………（11分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313260423025997/SYS201301131327175115735271_DA.files/image037.png">恒成立，

所以，

整理得.

又 所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313260423025997/SYS201301131327175115735271_DA.files/image042.png"> ，得，

所以

所以 . ……………………………………………………………（14分）

考點(diǎn)：本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的確定，需要分類(lèi)討論思想來(lái)得到。