Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=2，an+1(an+1)=2an(n∈N*)．
（1）證明{

1

an

-1}為等比數(shù)列，并求出通項公式a_n；
（2）設(shè)bn=

an

2n+1-1

，{b_n}的前n項和為S_n，證明：S_n＜1．

Answer 1

分析：（1）將數(shù)列遞推式取倒數(shù)，再兩邊減去1，即可證得{

1

an

-1}為等比數(shù)列，從而可求出通項公式a_n；
（2）將數(shù)列通項裂項，再累加求和，即可證得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵a_n+1（a_n+1）=2a_n
∴

1

an+1

=

an+1

2an

=

1

2

（1+

1

an

）
∴

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1）
∵a₁=2，∴

1

a1

-1=-

1

2

∴{

1

an

-1}為首項為-

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列
∴

1

an

-1=-(

1

2

)n，
∴a_n=

2n

2n-1

；
（2）bn=

an

2n+1-1

=

2n 2n-1

2n+1-1

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

∴{b_n}的前n項和為S_n=

1

21-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=

1

21-1

-

1

2n+1-1

＜1
∴S_n＜1．

點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及數(shù)列的遞推關(guān)系，同時考查了計算能力，屬于中檔題．