Question

已知函數(shù)f(x)=1-(-5≤x≤0),點(diǎn)(-2,-4)在它的反函數(shù)的圖象上.

(1)求f^-1(x);

(2)判定f^-1(x)的單調(diào)性,并用定義證明.

Answer 1

解:(1)∵(-2,-4)在反函數(shù)圖象上,

∴(-4,-2)在原函數(shù)圖象上,則有-2=1-,得a=-1.

∴f(x)=1-.

∵-5≤x≤0,∴f(x)∈［-4,1］.

由y=1-解得x²=-(y-1)²+25.

又-5≤x≤0,

∴x=-.交換x、y得f^-1(x)=-  (-4≤x≤1).

(2)f^-1(x)的單調(diào)區(qū)間為［-4,1］,任取x₁、x₂∈［-4,1］,設(shè)x₁＜x₂,

則f^-1(x₁)-f^-1(x₂)=

∵-4≤x₁＜x₂≤1,

∴x₁-x₂＜0,x₁+x₂-2＜0.

∴f^-1(x₁)-f^-1(x₂)＞0,即f^-1(x₁)＞f^-1(x₂).

∴f^-1(x)在［-4,1］上遞減.

說明:在以上證明中,進(jìn)行了分子有理化,然后判斷f^-1(x₁)-f^-1(x₂)的符號(hào),這種思想在解題中常用.