Question

如圖所示，多面體ABCDS中，平面ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD=AD．

第19題圖

(1)求證：平面SDB上平面ABCD；

(2)求二面角A-SB-D的大�。�

Answer 1

答案：(1)∵SD⊥AD，SD⊥AB，AD∩AB=A

∴SD⊥平面ABCD，

又∵SD平面SBD，∴平面SDB⊥平面ABCD．

(2)解法一：由(1)知平面SDB⊥平面ABCD，

BD為平面SDB與平面ABCD的交線，過點A作AE⊥DB于E，如圖a所示，則AE⊥平面SDB，又過點A作AF⊥SB于F，連接EF.

由三垂線定理的逆定理得EF⊥SB，

第19題圖

∴∠AFE為二面角A-SB-D的平面角．

在矩形ABCD中，設AD=a，

則BD=，

在Rt△SBC中，SB=．

而在Rt△SAD中，SA=2a，又AB=2a，

∴SB²=SA²+AB²．

即△SAB為等腰直角三角形，且∠SAB為直角，

∴AF=AB=

∴sin∠AFE=

故二面角A-SB-D的大小為arcsin．

解法二：由題可知DS、DA、DC兩兩互相垂直．

如圖b建立空間直角坐標系D-xyz

第19題圖(續(xù))

設AD=a，

則S(，0，0)，A(0，a，0)，B(0，a，2a)，C(0，0，2a)，D(0，0，0)

∵=(，0，0)，=(0，a，2a)

設平面SBD的一個法向量為n=(x，y，-1)

則，即

解得n=(0，2，-1)

又∵=(0，0，2a)，=(，a，0)

設平面SAB的一個法向量為m=(1，y，z)，

則，即

解得m=(1，，0)，

cos＜m，n＞=.

故所求的二面角為arccos.