Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，AD=，EF=2，BE=3，CF=4，
(Ⅰ)求證：EF⊥平面DCE；
(Ⅱ)當(dāng)AB的長為何值時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°。

Answer 1

（Ⅰ）證明：在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=2，
∵在△FCE中，CF²=EF²+CE²，∴EF⊥CE，
由已知條件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC與EC相交于C，
∴EF⊥平面DCE。
（Ⅱ）解：過點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連結(jié)AH，
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，AB⊥BC，
得AB⊥平面BEFC，從而AH⊥EF，
所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角，
在Rt△CEF中，因?yàn)镋F=2，CF=4，EC=2，∴∠CEF=60°，
由CE∥BH，得∠BHE=60°，
又在Rt△BHE中，BE=3，∴，
由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，
在Rt△AHB中，解得，
所以當(dāng)時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°。