Question

如圖,直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=AC=AA₁=a,∠BAC=90°,D為棱B₁B的中點(diǎn).

(1)證明A₁D⊥平面ADC;

(2)求異面直線(xiàn)A₁C與C₁D所成角的大小;

(3)求平面A₁CD與平面ABC所成二面角的大小(僅考慮銳角的情況).

Answer 1

(1)證明:∵△A₁B₁D和△ABD都為等腰直角三角形,

    ∴∠A₁DB₁=∠ADB=45°.∴∠A₁DA=90°,即A₁D⊥AD.

    又∵CA⊥A₁D,

    ∴A₁D⊥平面ADC.

(2)解:連結(jié)AC₁交A₁C于E點(diǎn),取AD中點(diǎn)F,連結(jié)EF、CF,則EF∥C₁D,

    ∴∠CEF是異面直線(xiàn)A₁C與C₁D所成的角(或補(bǔ)角).

    EF=C₁D=a,CE=A₁C=a,CF==a,在△CEF中,cos∠CEF==,∴∠CEF=arccos.

    則異面直線(xiàn)A₁C與C₁D所成角的大小為arccos.

(3)解:延長(zhǎng)A₁D與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于G點(diǎn),連結(jié)CG,

    過(guò)A作AH⊥CG于H點(diǎn),連結(jié)A₁H,

    ∵A₁A⊥平面ABC,

    ∴A₁H⊥CG(三垂線(xiàn)定理).

    ∴∠A₁HA是二面角A₁CGA的平面角,即所求二面角的平面角.

    在Rt△ACG中,

    ∵AC=a,AG=2a,∴CG=a.

    ∴AH==a.

    在Rt△A₁AH中,tan∠A₁HA==,∴∠A₁HA=arctan,

    即所求的二面角的大小為arctan.