Question

12．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，給出下列結(jié)論：①AC⊥B₁D₁；②AC₁⊥B₁C；③AB₁與BC₁所成的角為60°；④AB與A₁C所成的角為45°．其中所有正確結(jié)論的序號為①②③．

Answer 1

分析 利用直線與直線垂直的判斷方法判斷①的正誤；
通過直線與平面垂直的判定定理證明結(jié)果，判斷②的正誤；
根據(jù)異面直線所成角的定義與正方體的性質(zhì)可得異面直線AB₁，BC₁所成的角為60°，判斷③的正誤；
通過異面直線所成角求解結(jié)果，判斷④的正誤

解答 解：對于①，因為幾何體是正方體，BD∥B₁D₁，AC⊥BD，
∴AC⊥B₁D₁；∴①正確．
對于②，B₁C⊥C₁B，B₁C⊥AB，可得B₁C⊥平面ABC₁，∴AC₁⊥B₁C，
∴②正確．
對于③，連結(jié)B₁D₁、AD₁，
得∠B₁AD₁就是異面直線AB₁，BC₁所成的角，
∵△B₁AD₁是等邊三角形，∴∠B₁AD₁=60°
因此異面直線AB₁，BC₁所成的角為60°，得到③正確．
對于④，AB與A₁C所成的角，就是CD與A₁C所成的角，三角形A1CD是直角三角形，不是等腰直角三角形，所以AB與A₁C所成的角為45°不正確．∴④不正確；
故答案為：①②③．

點評 本題給出正方體中的幾個結(jié)論，判斷其正確與否，著重考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直與平行的判定與性質(zhì)、異面直線所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題