Question

設(shè)k∈R，k≠0，函數(shù)f（x）=，F(xiàn)（x）=f（x）-kx．
（I）試討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（II）設(shè)0＜k＜，求證：F（x）=0有三個不同的實根．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=，F(xiàn)（x）=f（x）-kx．
∴F（x）=
∴F′（x）= 
∴當x≥2，方程=0在k＜0或k≥1時，無解，在0＜k＜1時為x=+1，
當x＜2時，方程=0在k≥0時，無解，在k＜0時為x=2-．
∴當0＜k＜1時，函數(shù)F（x）在（-∞，2）上遞減，在（2，+1）上遞增，在（+1，+∞）上遞減；
當k≥1時，函數(shù)F（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
當k＜0時，函數(shù)F（x）在（-∞，2-）上遞增，在（2-，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…
證明（Ⅱ）∵0＜k＜，由（Ⅰ）可知，F(xiàn)（x）的取值隨著x的變化如下：

∴當x=2時，F(xiàn)（x）極小值為-2k，
當x=+1，F(xiàn)（x）極大值為ln-k-1，
∵0＜k＜，
∴l(xiāng)n-k-1＞--1=-＞0，
∴F（x）極小值-2k＜0，F(xiàn)（x）極大值為ln-k-1＞0，
因此，0＜k＜時，方程F（x）=0一定有三個不同的實根．
分析：（I）已知中函數(shù)f（x）的解析式，可求出F（x）=f（x）-kx的解析式，進而求出其導函數(shù)的解析式，分別討論當x≥2，方程=0的解，也當x＜2時，方程=0的解，進而可對k進行分類討論得到函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（II）由（I）中結(jié)論，可得當0＜k＜時，函數(shù)的單調(diào)性，及對應的極值點，分別判斷極大值與極小值的符號，進而可判斷出F（x）=0有三個不同的實根．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，分段函數(shù)的解析式求法，根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中利用導數(shù)法，判斷出函數(shù)F（x）的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵．