Question

已知函數f（x）=x³-2mx²+m²x，“m=1”是“當x=時，函數f（x）取得極大值”的

1. A.
   充分不必要條件
2. B.
   必要不充分條件
3. C.
   充要條件
4. D.
   既不充分也不必要條件

Answer 1

C
分析：充分性，當m=1，f′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），利用導數與極值間的關系可證得“當x=時，函數f（x）取得極大值”，即充分性成立；
必要性，當x=時，函數f（x）取得極大值，通過對m分m＜0與m＞0的討論，利用導數與極值間的關系最終推出m=1，即必要性成立，從而選得答案．
解答：∵f（x）=x³-2mx²+m²x，若m=1，
∴f′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），
由f′（x）＞0得，x＞1或x＜，
由f′（x）＜0得，＜x＜1，
∴x=的左側導數大于0，右側導數小于0，
∴當x=時，函數f（x）取得極大值；
即m=1，是當x=時，函數f（x）取得極大值的充分條件；
反之，當x=時，函數f（x）取得極大值，看看能否推出m=1．
∵f′（x）=3x²-4mx+m²=（x-m）（3x-m），
∴由f′（x）=0得x=m或x=．
當m＜0，由f′（x）＞0得，x＞或x＜m，
由f′（x）＜0得，m＜x＜，
∴當x=m時，函數f（x）取得極大值；又當x=時，函數f（x）取得極大值，
∴m=與m＜0矛盾；
當m＞0時，同理可得，當x=，函數f（x）取得極大值；又當x=時，函數f（x）取得極大值，
∴=，
∴m=1．即當x=時，函數f（x）取得極大值，能推出m=1．
∴即m=1是當x=時，函數f（x）取得極大值的必要條件；
綜上所述，，“m=1”是“當x=時，函數f（x）取得極大值”的充要條件．
故選C．
點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，著重考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，“m=1”是“當x=時，函數f（x）取得極大值”的必要條件的分析是難點，屬于難題．