Question

求過三點(diǎn)O(0,0),M₁(1,1),M₂(4,2)的圓的方程,并求圓的半徑長和圓心坐標(biāo).

Answer 1

解:方法一：設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0,由O,M₁,M₂在圓上,則有

解得D=-8,E=6,F=0.

故所求圓的方程為x²+y²-8x+6y=0,即(x－4)²＋(y+3)²=5².

所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.

方法二：先求出OM₁的中點(diǎn)E(,),M₁M₂的中點(diǎn)F(,),

再寫出OM₁的垂直平分線PE的直線方程y=-(x),①

AB的垂直平分線PF的直線方程y=-3(x),②

聯(lián)立①②得解得則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑.

方法三：設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為P(a,b),根據(jù)圓的性質(zhì)可得|OP|=|AP|=|BP|,

即x²+y²=(x-1)²+(y-1)²=(x-4)²+(y-2)²,

解之,得P(4,-3),OP=5為半徑.

方法四：設(shè)所求圓的方程為(x－a)²＋(y－b)²=r²,因?yàn)镺(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圓上,所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程,可以得到關(guān)于a、b、r的方程組,即解此方程組得

所以所求圓的方程為(x－4)²＋(y+3)²=5²,圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.

點(diǎn)評(píng)：請(qǐng)同學(xué)們比較,關(guān)于何時(shí)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,何時(shí)設(shè)圓的一般方程.一般說來,如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系,往往設(shè)圓的一般方程.