Question

{a_n}各項均為正的等比數(shù)列，已知a₃+a₄-a₂-a₁=8，求a₅+a₆+a₇+a₈最小值．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：可判數(shù)列{a_n+a_n+1}也是各項均為正的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列{a_n+a_n+1}的公比為x，a₁+a₂=a，則x∈（1，+∞），a₃+a₄=ax，結(jié)合已知可得a=

8

x-1

，代入可得y=a₅+a₆+a₇+a₈=ax²+ax³=

8(x3+x2)

x-1

，x∈（1，+∞），由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}是各項均為正的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n+a_n+1}也是各項均為正的等比數(shù)列，
設(shè)數(shù)列{a_n+a_n+1}的公比為x，a₁+a₂=a，
則x∈（1，+∞），a₃+a₄=ax，
∴有a₃+a₄-a₂-a₁=ax-a=8，即a=

8

x-1

∴y=a₅+a₆+a₇+a₈=ax²+ax³=

8(x3+x2)

x-1

，x∈（1，+∞），
求導(dǎo)數(shù)可得y′=

16x(x2-x-1)

(x-1)2

，令y′＞0可得x＞

5 +1

2

，
故函數(shù)在（1，

5 +1

2

）單調(diào)遞減，（

5 +1

2

，+∞）單調(diào)遞增，
∴當x=

5 +1

2

時，y=a₅+a₆+a₇+a₈取最小值：44+20

5

．

點評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．