Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁=2，S₂=5b₂，S₄=25b₃．
（I）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式a_n及b_n；
（II）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=b_nS_n，問當n為何值時，c_n取得最大值？

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則S₂=4+d，S₄=8+6d，b₂=2q，b₃=2q²，再根據(jù)題意列方程組求出公差與公比，進而求出兩個數(shù)列的通項公式．
（II）由（I）可得：S_n=2n²，所以c_n=4n²．假設(shè)C_n最大，根據(jù)題意可得：n≥2，所以，即可求出n的范圍求出n的具體數(shù)值．
解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則S₂=2a₁+d=4+d，S₄=4a₁+6d=8+6d，b₂=b₁q=2q，b₃=2q²，
根據(jù)題意可得：S₂=5b₂，S₄=25b₃，即，
解得：或者（舍去），
因為a₁=b₁=2，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
所以a_n=4n-2，b_n=．
（II）因為S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，
所以S_n=2n²，所以c_n=b_nS_n=4n²．
假設(shè)C_n最大，因為C₁=4，C₂=，所以C₁＜C₂，所以n≥2．
由C_n最大，可得：，即，
化簡可得：，
解得：，
因為45，
所以8＜n＜10，所以n=9，
即當n=9時，C₉最大．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是數(shù)列掌握等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，以及數(shù)列掌握利用不等式的性質(zhì)求數(shù)列的最大項，本題考查學生的運算能力與分析問題解決問題的基本能力．