Question

 [番茄花園1] 已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)、在軸上，離心率.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程；

(Ⅲ)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說(shuō)明理由.

 

 

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 [番茄花園1]19.

Answer 1

【答案】

 [番茄花園1] 解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為，

由，即，，得.

∴橢圓方程具有形式.

將代入上式，得，解得，

∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知，，所以直線的方程為：，即.直線的方程為：.

由點(diǎn)在橢圓上的位置知，直線的斜率為正數(shù).

設(shè)為上任一點(diǎn)，則.

若，得(因其斜率為負(fù)，舍去).

于是，由，得.

解法2：∵，，，∴，.

∴，

∴，∴：，即.

(Ⅲ)解法1：假設(shè)存在這樣的兩個(gè)不同的點(diǎn)和，

∵，∴.

設(shè)的中點(diǎn)為，則，，

由于在上，故.                          ①

又、在橢圓上，所以有  與.兩式相減，得，即.

將該式寫為，并將直線的斜率和線段的中點(diǎn)表示式代入該表達(dá)式中，得，

即                                              ②

①×2-②得，，即的中點(diǎn)為點(diǎn)，而這是不可能的.

∴不存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)和.

解法2：假設(shè)存在，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，

∴.

設(shè)直線的方程為，將其代入橢圓方程，

得一元二次方程，即.

則與是該方程的兩個(gè)根.

由韋達(dá)定理得，于是，

∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

又線段的中點(diǎn)在直線上，∴，得.

即的中點(diǎn)坐標(biāo)為，與點(diǎn)重合，矛盾.

∴不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點(diǎn).

 

 

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 [番茄花園1]19.