Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，側棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥EO；
（2）證明：DE⊥平面PBC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）求

BC

=（-1，0，0），

PC

=（0，1，-1），

DE

=（0，

1

2

，

1

2

），利用向量法能證明DE⊥平面PBC．

解答： （Ⅰ）證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，建立空間直角坐標系，
連結AC，則AC交BD于點O，
連結EG，依題意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，

1

2

，

1

2

），
∵底面ABCD是正方形，∴O是正方形ABCD的中點，∴O（

1

2

，

1

2

，0），
∴

PA

=（1，0，-1），

EO

=（

1

2

，0，-

1

2

），
∴

PA

=2

EO

，即PA∥EG，
∴PA∥EO．
（Ⅱ）證明：依題意B（1，1，0），C（0，1，0），

BC

=（-1，0，0），

PC

=（0，1，-1），
又

DE

=（0，

1

2

，

1

2

），
∴

BC

•

DE

=0，

PC

•

DE

=0+

1

2

-

1

2

=0
∴BC⊥DE，PC⊥DE，
又BC∩PC=C，
∴DE⊥平面PBC．

點評：本題考查線面平行的判定，線面垂直的判定，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用，屬于中檔題．