Question

已知函數(shù)f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）（a＞0，且a≠1），當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≥b恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)單調(diào)性的定義得到函數(shù)在[-1，1]上為增函數(shù)，然后求得f（-1）的值得答案．

解答： 解：設(shè)-1≤x₁＜x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=

a

a2-1

(ax1-ax2+

1

ax2

-

1

ax1

)
=

a

a2-1

(ax1-ax2+

ax1-ax2

ax1ax2

)
=

a

a2-1

(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)．
若a＞1，

a

a2-1

＞0，ax1＜ax2，1+

1

ax1ax2

＞0，
此時(shí)f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．
f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
若0＜a＜1，

a

a2-1

＜0，ax1＞ax2，1+

1

ax1ax2

＞0，
此時(shí)f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．
f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
綜上，對(duì)于a＞0，且a≠1，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）為增函數(shù)．
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，要使f（x）≥b恒成立，
則b≤f(-1)=

a

a2-1

(a-1-a)=-1．
∴b的取值范圍是（-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問題，考查了函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．