Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=S_n+（n+1）（n∈N^*），其中S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，
（1）用a_n表示a_n+1；
（2）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（3）求a_n和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得出a_n+1=S_n+（n+1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+n，兩式相減并整理、得出a_n+1=2a_n+1．（n≥2），并對n=1單獨(dú)驗(yàn)證．
（2）在a_n+1=2a_n+1兩邊同時(shí)加上1得出a_n+1+1=2（a_n+1），可以判定{a_n+1}是等比數(shù)列
（3）通過求出數(shù)列{a_n+1} 的通項(xiàng)公式得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再求和即可．
解答：解：（1）由a_n+1=S_n+（n+1）①
得出n≥2時(shí)
 a_n=S_n-1+n ②
①-②得出
a_n+1-a_n=a_n+1
整理a_n+1=2a_n+1．（n≥2）
由在①中令n=1得出a₂=a₁+2=3，滿足a₂=2a₁+1
所以a_n+1=2a_n+1．（n≥1）
 （2）在a_n+1=2a_n+1兩邊同時(shí)加上1得出
a_n+1+1=2（a_n+1）
根據(jù)等比數(shù)列的定義，得出數(shù)列{a_n+1}是以2為公比的等比數(shù)列
（3）由（2）數(shù)列{a_n+1} 的通項(xiàng)公式為a_n+1=2•2 ^n-1=2ⁿ
所以a_n=2ⁿ-1，
S_n=（2¹-1）+（2²-1）+…（2ⁿ-1）
=-n
=2 ⁿ⁺¹-2-n．
點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式求解，數(shù)列求和，考查變形構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．一般的形如a_n+1=pa_n+q型遞推公式，均可通過兩邊加上一個(gè)合適的常數(shù)，變形構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列．