Question

（本小題共13分）

已知集合對于，，定義A與B的差為

A與B之間的距離為

（Ⅰ）證明：，且;

（Ⅱ）證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)

(Ⅲ) 設(shè)P，P中有m(m≥2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為.

  證明：≤.

Answer 1

【分析】：這道題目的難點主要出現(xiàn)在讀題上，這里簡要分析一下。

       題目所給的條件其實包含兩個定義，第一個是關(guān)于的，其實中的元素就是一個n維的坐標(biāo)，其中每個坐標(biāo)值都是0或者1， 也可以這樣理解，就是一個n位數(shù)字的數(shù)組，每個數(shù)字都只能是0和1， 第二個定義叫距離，距離定義在兩者之間，如果直觀理解就是看兩個數(shù)組有多少位不同，因為只有0和1才能產(chǎn)生一個單位的距離，因此這個大題最核心的就是處理數(shù)組上的每一位數(shù)，然后將處理的結(jié)果綜合起來，就能看到整體的性質(zhì)了。

       第一問，因為每個數(shù)位上都是0或者1，取差的絕對值仍然是0或者1，符合的要求。然后是減去C的數(shù)位，不管減去的是0還是1， 每一個a和每一個b都是同時減去的，因此不影響他們原先的差。

       第二問，先比較A和B有幾個不同（因為距離就是不同的有幾個），然后比較A和C有幾個不同，這兩者重復(fù)的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么這一位上B和C就相同）去掉兩次（因為在前兩次比較中各計算了一次），剩下的就是B和C的不同數(shù)目，很容易得到這樣的關(guān)系式：，從而三者不可能同為奇數(shù)。

       第三問，首先理解P中會出現(xiàn)個距離，所以平均距離就是距離總和再除以，而距離的總和仍然可以分解到每個數(shù)位上，第一位一共產(chǎn)生了多少個不同，第二位一共產(chǎn)生了多少個不同，如此下去，直到第n位。然后思考，第一位一共m個數(shù)，只有0和1會產(chǎn)生一個單位距離，因此只要分開0和1的數(shù)目即可，等算出來一切就水到渠成了。

       此外，這個問題需要注意一下數(shù)學(xué)語言的書寫規(guī)范。

解：（1）設(shè)

              因，故，

              即

              又

              當(dāng)時，有；

              當(dāng)時，有

              故

       （2）設(shè)

              記

              記，由第一問可知：

             

             

             

              即中1的個數(shù)為k，中1的個數(shù)為l，

              設(shè)t是使成立的i的個數(shù)，則有，

              由此可知，不可能全為奇數(shù)，即三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)。

       （3）顯然P中會產(chǎn)生個距離，也就是說，其中表示P中每兩個元素距離的總和。

       分別考察第i個位置，不妨設(shè)P中第i個位置一共出現(xiàn)了個1， 那么自然有個0，因此在這個位置上所產(chǎn)生的距離總和為，

       那么n個位置的總和

       即