Question

1．已知$\overrightarrow a=（-1，1），\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a-\overrightarrow b，\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow a+\overrightarrow b$，若△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，則△OAB的面積是2．

Answer 1

分析 根據(jù)△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，得到向量垂直和向量模長相等的條件，利用向量數(shù)量積的定義進行求解即可．

解答 解：若△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，
則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，
即|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow$|²=0，
則|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，
又|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|，
即|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，
平方得|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
則|$\overrightarrow{OA}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²=2+2=4，
則|$\overrightarrow{OA}$|=2，
則△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|=$\frac{1}{2}×2×2$=2．
故答案為：2

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應用，根據(jù)等腰直角三角形的性質，結合向量垂直和向量相等的關系進行轉化求解是解決本題的關鍵．