Question

7．在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=2，二面角P-BC-A的大小為60°，三棱錐P-ABC的體積為$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，則直線PB與平面PAC所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出∠PBA=60°，PA=2$\sqrt{3}$，BC=2$\sqrt{2}$，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線PB與平面PAC所成的角的正弦值．

解答 解：∵在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=2，
∴∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，
∵二面角P-BC-A的大小為60°，
∴∠PBA=60°，∴PB=4，PA=2$\sqrt{3}$，
∵三棱錐P-ABC的體積為$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}×2×BC=\frac{4\sqrt{6}}{3}$，解得BC=2$\sqrt{2}$，
以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
P（2，0，2$\sqrt{3}$），B（0，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{PB}$=（-2，2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{3}$），
平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設(shè)直線PB與平面PAC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+8+12}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線PB與平面PAC所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．