Question

5．在平面四邊形ABCD中，向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$=（4，1），$\overrightarrow$=$\overrightarrow{BC}$=（3，1），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{CD}$=（-1，-2）
（!）若向量（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）與向量（$\overrightarrow$-k$\overrightarrow{c}$）垂直，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若$\overrightarrow{DB}$=m$\overrightarrow{DA}$+n$\overrightarrow{DC}$，求實(shí)數(shù)m，n．

Answer 1

分析 （1）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出；
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量相等即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=（10，3），$\overrightarrow$-k$\overrightarrow{c}$=（3+k，1+2k），
∵向量（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）與向量（$\overrightarrow$-k$\overrightarrow{c}$）垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow$-k$\overrightarrow{c}$）=10（3+k）+3（1+2k）=0，
解得k=-$\frac{33}{16}$．
（2）$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$=（1，2）-（3，1）=（-2，1）．
$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$=（1，2）+（-3，-1）+（-4，-1）=（-6，0）．
若$\overrightarrow{DB}$=m$\overrightarrow{DA}$+n$\overrightarrow{DC}$，
∴（-2，1）=m（-6，0）+n（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=-m+n}\\{1=2n}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{5}{2}$，n=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．